1. 복리수익률을 최대화하는 켈리 기준(Kelly Criterion) 유도

1. 복리수익률을 최대화하는 켈리 기준(Kelly Criterion) 유도                                                                                            머니 사이언스라는 책을 보면 도박이야기부터 켈리 기준, 마틴게일과 같은 자금 관리 얘기까지 포괄적으로 다룬다. 마틴게일 같은 경우 어찌보면 단순히 곱지르기 방식이므로 따로 다룰 이야기가 없다.(물론 도박에 한해서 이다) 그런데 켈리 기준은 이 보다 한참 복잡하다. 그런데 책에서는 켈리 기준이 나타나게 된 배경과 배경의 역사에 초점을 맞추고 있다.    이 글에서는 켈리 기준이 어떻게 유도되고 어떤 방법으로 적용될 수 있는지 알아보도록 한다.   먼저 Coin-tossing과 같은 간단한 도박에서 켈리 기준 혹은 켈리 비율을 어떻게 구하는지 보자.   게임은 이길 때 투자 자금의 1배의 수익을 얻을 수 있고 질 때 투자 자금을 모두 잃는 게임이라고 가정하자.   B0 = 초기 자금 Bn = n번의 게임 후 자금 f = 투자 비율 (0<f<1) w = 게임을 이긴 횟수 l = 게임을 진 횟수(I=n-w)   여기서 w + l 은 당연히 n이다.   위 변수들을 이용해 Bn을 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.      승리하면 (1+f)를 받고 지면 (1-f)f를 준다........(1)   이때    이라고 하자.Bn를 Bo로 나누면   그렇다면 식은 다음과 같이 다시 정리된다 (1)을 Bo로 나누면   ............(2)   여기서 g(f)는 자본성장률(Bn를 Bo로 나누면)이라고 이해할 수 있다. 여기서 각 변에 1/n 승을 해보자.(기하평균을 구하기 위해)     이 식에서 g(f)^(1/n)은 기하평균이고 w/n=p(승율)과ㅣ/n=q(페율)은 각각 게임에서 이길 확률과 질 확률이다.   이 때 이길 확률을 p, 질 확률을 q라고 해보자.(w + l = n 이므로 p + q = 1이다.) 단, 0<p<1, 0<q<1이다.   E(g(f))=g(f)의 기하평균이다 이는 자본성장율의 기댓값   E(G(f))는 자본성장률의 기댓값이다. 이것을 최대화시키는 것은 복리수익률의 최대화로 귀결된다.   최대값을 구하기 위해서 E(g(f))를 G(f) 함수라고 하고 위 함수의 형태를 알아야하므로 G(f)를 f에 대해서 미분해보자.(p,q를 변수로 볼 경우 f에 대해서 편미분;변수가 두 개 이상이 있을 시에는 한 개를 제외하고는 나머지는 상수로 하여 미분하는 것)     (G(x)=f(x)y(x)  G'(x)=f'(x)y(x)+f(x)y'(x))   여기서 p + q = 1이므로 위 식은 다음과 같이 정리될 수 있다.   (앞에 덧샘을 뺄샘으로 한 이유 모르겠음) 하여튼 윗공식에서 공약수를 X=(1+f),Y=(1-f)로 하면 다음과 같은 식이 도출됩니다 [PX^p-1]*(1-P)[X^p]*[Y^-p]={X^p-1*Y^1-p(P-1+P)={X^p-1Y^1-p(2P-1)}를 X=1+f,Y=1-f로 하면 밑에 식이 된다               0<f<1, 0<p<1이므로 (-f+2p-1) 외의 인수에서는 실수 범위에서 항상 양수의 값을 가진다. 즉 극값은 (-f+2p-1)에 의해서 결정된다.   이 때 f = 2p-1에서 f는 p=1/2을 기점으로 좌측값은 음수값을 우측값은 양수값을 가진다. 따라서 G(f)는 2p-1에서 유일한 극댓값을 가진다. 즉 G(f)는 2p-1에서 유일한 극댓값을 가지므로 2p-1에서 최댓값을 가지게 된다.   따라서 이다. (argmax는 함수의 최대값을 달성하는 변수값이다 즉 2p-1를 함수에 대입하면 최대치가 됩니다 )    다시 말해 복리수익률을 최대화시키는 투자비율 f는 2p-1이다. http://id4jun.blog.me/10168410146 에서 따옴